积分中值定理是微积分不成或缺的东西之一，也是专升本测验必考常识点之一。它在求解积分中帮忙我们找到中心值，进而解决各类现实问题和理论证实。专升本学历网小编将从根基概念、证实过程、应用实例等方面具体介绍积分中值定理，帮忙大师理解和把握这一主要常识点。
一、积分中值定理的根基概念
积分中值定理是微积分中的根基定理之一，它是牛顿-莱布尼茨公式的根本，也是微积分学中主要的东西之一。积分中值定理指出，若是函数f在[a,b]上持续，且F是f的一个原函数，那么就存在c∈(a,b)，使得：
∫a^bf(x)dx=f(c)(b?a)
此中，c叫做积分中值点。
证实过程：
二、积分中值定理的证实过程
积分中值定理证实过程可以分为以下两步：
第一步：机关辅助函数g(x)。
因为f(x)在区间[a,b]上持续，按照极值定理，必有最年夜值和最小值。那么我们考虑机关一个函数，使得它在区间[a,b]上的最年夜值和最小值别离等于f(x)在区间[a,b]上的最年夜值和最小值。于是我们令：
g(x)=f(x)?[(f(b)?f(a))/(b?a)](x?a)
第二步：按照罗尔定理以及g(x)的性质导出结论。
因为g(x)在区间[a,b]上知足拉格朗日中值定理的前提，即g(a)=g(b)，所以必然存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。又因为：
g'(x)=f'(x)?[(f(b)?f(a))/(b?a)]
所以有：
f'(c)=[(f(b)?f(a))/(b?a)]
即：
f(c)?f(a)=f'(η)(c?a)
此时按照牛顿-莱布尼茨公式，有：
f(c)?f(a)=∫a^bf'(x)dx
连系以上等式可得：
f(c)=[(f(b)?f(a))/(b?a)]c+[f(a)b?f(b)a]/(b?a)
即：
f(c)=(1/(b?a))∫a^bf(x)dx
于是便获得了积分中值定理。
三、积分中值定理的应用实例
积分中值定理应用普遍，好比在数学阐发、物理、化学等范畴都有着主要的应用价值。这里简单介绍几个应用实例：
例1：证实设f(x)是区间[a,b]上可导函数，存在常数m>0，使得|f'(x)|≤m对于x∈[a,b]都成立，那么有：
|f(b)?f(a)|≤m|b?a|。
证实：
f(x)在[a,b]上持续，且f(x)在(a,b)上可导。
令g(x)=f(x)?mx，g(a)=f(a)?am，g(b)=f(b)?bm。
因为g(x)在区间[a,b]上持续，且g(x)在(a,b)上可导，按照罗尔定理，必然存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0，即：
f'(c)=m。
将上式代入知道f(b)?f(a)=f'(η)(b?a)，因为m>0，所以有：
|f(b)?f(a)|=|f'(η)(b?a)|≤m|b?a|
于是便证实了这个定理。
例2：求证方程x?a(1?cosx)=b的一个根在(a,a+π/2)之间。
证实：
令f(x)=x?a(1?cosx)?b，f(a)<0，f(a+π/2)>0。
因为f(x)在区间[a,a+π/2]上持续，且f'(x)=1+asin(x)≥1-1=0，是以f(x)在区间[a,a+π/2]上单调递增。
按照定理可得：存在c∈(a,a+π/2)，使得f(c)=0。
于是根就存在于(a,a+π/2)之间，证毕。
积分中值定理是微积分不成或缺的东西之一，它的证实基于罗尔定理，机关辅助函数，利用拉格朗日中值定理，可以解决各类现实问题和理论证实。在专升本测验中，积分中值定理是必考常识点，需要当真理解和把握。经由过程本文的介绍，相信大师对于积分中值定理已经有了更深切的领会。
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